◇◇新语丝(www.xys.org)(xys4.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇   阿贝尔和五次方程   作者:郭学军   古希腊的毕达哥拉斯认为世间万物都可以用有理数表示. 后来在公元前五 世纪左右, 希帕索斯证明了2的平方根不是有理数. 这开创了一个新的途径, 告 诉我们可以用根号和有理数组合起来创造新的数. 很容易把这样的数写成是一个 系数是有理数的一元方程的根. 例如2的平方根再加上3的平方根是一个系数为整 数的一元四次方程的根. 读者可以试着把这个方程写出来.   反过来对不对呢? 是不是所有的系数为有理数的方程的根都能用有理数和 有限多个加, 减, 乘, 除, 根号组合出来呢?   我们知道次数小于等于四次的方程都有求根公式. 也就是说它们的根确实可 以用系数和有限多个加, 减, 乘, 除, 根号表示出来. 那么系数是有理数的五次 方程的根是不是也可以用有理数和根号表示出来呢? 十八世纪之前人们普遍认为 这是可行的,只是表示的方法可能非常奇妙,非常复杂, 大数学家欧拉就是这么想 的. 十九世纪初的数学家已经普遍的相信这是行不通的了. 这里面包括柯西, 高 斯这样的著名数学家.   五次方程不可解是指对一般的五次方程来说, 没有办法从系数出发,经过有 限次的加, 减, 乘, 除和开方运算, 把方程的根表示出来. 如果不加这些限制, 就会像高斯调侃的, 你还不如随便写一个符号, 然后说这个符号就是方程的根.   1821年, 19岁的挪威青年数学家阿贝尔以为自己找到了五次方程的求根公式, 写了一个小册子.他随后发现了其中的错误并证明了这样的求根公式是不存在的. 他的证明发表于1824年, 只有六页, 简洁完整.在他之前, 意大利数学家鲁菲尼 于1799年发表了一篇五百多页的论文, 证明了五次方程不可解.虽然鲁菲尼的证 明得到了大数学家柯西的肯定, 柯西甚至还改进了其中的一个结果, 但是鲁菲尼 的证明实际上是有漏洞的.鲁菲尼的证明只相当于阿贝尔的证明的后半部分.   五次方程的求根公式不存在, 更高次方程的求根公式自然就更不存在.阿贝 尔在论文的最后一段提到了这一点.这其中的道理非常简单. 感兴趣的读者可以 自己动动脑筋想想为什么.   阿贝尔的证明是1824年公开发表的, 其改进版发表在1826年的德国的克列尔 杂志创刊号上. 这个杂志现在已经改名为《纯粹和应用数学杂志》,一百多年 来一直是数学界一份声誉很高的刊物。 五次和五次以上方程的求根公式虽然不 存在, 但是有些特殊的方程确实可以由系数出发, 经过有限次加, 减, 乘, 除, 开方运算把根表示出来, 这样的方程我们叫做根式可解的方程, 高斯十几岁的时 候证明了x的n次方等于1这个简单的方程是根式可解的. 他更进一步给阐明了当n 取什么值的时候,这个方程的根能够由整数出发,经过有限次加, 减, 乘, 除, 和 取平方根(可以根号套根号)运算得到. 注意这里的根号只允许是平方根.你可 不要觉得x的n次方等于1这个方程太简单, 意义不大. 高斯由此出发, 给出了怎 样用直尺和圆规做出正17边形的方法. 如果没有这个理论基础, 是不可能发现 正17边形的尺规作图法的。   当时的高斯还很小, 正处在人生的一个十字路口. 他拿不定主意将来到底是 以文学为职业, 还是以数学为职业. 这个问题的解决让高斯最后下定决心选择 了数学.   到底哪些方程是根式可解的, 哪些不是根式可解的, 这个问题的完整的解答 是由伽罗华给出的. 伽罗华理论的影响如此之深远, 以至于现在几乎所有的教 科书上都是用伽罗华理论来说明一般的五次方程不可解的. 阿贝尔的证明在标准 教科书上已经很难找到了.   那么到底系数是整数的五次方程里面到底有多少是根式可解的, 有多少不 是根式可解呢? 大数学家希尔伯特证明了五次方程里面根式可解的所占的比例 是零. 这并不是说没有根式可解的方程, 而是说根式可解的方程所占的比例是微 不足道的.这就像素数虽然有无限多个, 但是素数在全体自然数里面所占的比例 为零一样.   阿贝尔给出了方程是根式可解的一个充分条件. 这个充分条件导致了一个数 学词汇的出现--阿贝尔群. 有的书上也会把它翻译成“交换群”或者“可换群”. 但是实际上阿贝尔走的更远. 在去世前几个月, 阿贝尔给克列尔写过一封信. 在这封信中, 阿贝尔给出了方程根式可解的一个充分必要条件, 这个条件和后 来伽罗华在他著名的备忘录中给出的几乎是一模一样.   阿贝尔是个伟大的天才,他在1828年病逝的时候只有26岁. 他临死前 在狂怒中诅咒了上帝和当时落后的医学. 他诅咒上帝是因为上帝给了他贫苦悲惨 的命运, 他经常穷得每天只能吃一顿饭. 他诅咒医学是因为医生们对他的疾病 素手无策,任他死去. 他最放心不下的是他的未婚妻克莉丝汀. 他写了一封信 给自己的一位好朋友, 要求他娶克莉丝汀.阿贝尔的这位朋友在从来没有见过克 莉丝汀的情况下,写信向她求婚,他们一年多以后结了婚,幸福的生活在一起. 阿贝尔死后两天, 从柏林寄出了一封信告诉他获得了柏林的一个永久性的学术职 位, 从巴黎寄出了一封信告诉他法国科学院发现了他论文的价值.可惜他永远 也看不到了. 第二年法国科学院发给了他1500法郎的大奖, 奖金给了他的母亲. ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys4.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇