【新语丝电子文库(www.xys.org)(www.xys2.org)】 ———————————————— 祖冲之与圆周率 孙小礼 有人以为“祖冲之发明了圆周率π”,这是误解。这个误解 还出现在了不久前的某次“知识问答”中。看来有必要向公众说 明圆周率根本不是哪一个人的发明,并需要按照历史事实阐明祖 冲之对π的杰出贡献。 圆周率是圆周与直径的比值。早在远古时代,人们就从经验 中发现这个比值接近于一个固定的数。因为圆是人们日常生活中 经常要碰到的几何图形,而在各种容器制造、各种工程设计以及 天文学、力学中只要涉及与圆有关的计算,就都要用到圆周率。 圆周率的重要性逐渐为人们所了解,对圆周率的研究和计算自然 也就成为古代数学的一个重要课题。许多大数学家曾经致力于求 出圆周率的日益精确的数值,这种计算的成果甚至成为古代数学 才能的一种量度。1737年,数学家欧拉明确使用希腊字母π表示 圆周率,以后π成为了国际通用的圆周率符号。1767年数学家 J.H.Lambert证明了π是无理数。在这之前,对π计算还包含有希 望验证它是否是有理数的目的。 在圆周率的计算史上,第一个高峰是古希腊著名数学家阿基 米德(公元前287-212)对π的计算方法和结果。他看出圆的周长 介于其内接正多边形的周长和外切正多边形的周长之间,用几何 方法算出圆的内接正96边形的周长和外切正96边形的周长,求得 接近π值的上、下界,他的结果是: 223/71<π<22/7 圆周率计算史上的第二个高峰是中国古代数学家刘徽、祖冲 之等人的贡献,而尤以祖冲之给出的分数值355/113最为著称,名 垂古今中外。 在我国的古算书中,曾以“周三径一”表示圆周率,即π =3。自西汉末,先后有刘歆、张衡、王蕃、皮延宗等人结合各种 实际问题对圆周率作过计算,而尤其以刘徽和祖冲之的计算最为 精到。 刘徽是三国时代的数学泰斗,在他撰著《九章算术注》(公元 263年)的方田章圆田术中写出了他对圆周率的研究和计算。他的 基本思路和方法虽然与阿基米德相仿,也是运用几何学原理和逐 步逼近的方法,然而又确有他自己的独创性。他指出,古率“周 三径一”其实只是圆内接正六边形的周长与直径之比,远不是圆 的周长与直径之比。他是运用圆内接正多边形的面积,当边数逐 步增大,就逐步逼近圆的面积的方法求圆周率的。他算到正3072 边形的面积,得到: π=3927/1250(即π=3.1416) 刘徽把他所开创的计算圆面积的方法称为“割圆术”,他 说:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆 周合体,而无所失矣。”刘徽的这种精辟思想,正是出现在我国 古代数学中的极限概念的萌芽时期。 祖冲之(公元429-500)是我国南北朝时期的卓越科学家,曾 任南徐州(今江苏镇江)从事史(州刺史的随员)。关于祖冲之对圆 周率的贡献,在唐代魏征等所撰《隋书》卷十六《律历志》中有 这样的记载:“古之九数,圆周率三,圆径率一,其术疏舛。自 刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒各设新率,未臻折衷。宋 末,南徐州从事史祖冲之更开密法。以圆径一亿为一丈。圆周盈 数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽;肭数三丈一尺四寸一分 五厘九毫二秒六忽,正数在盈肭二限之间。密率:圆径一百一十 三,圆周三百五十五。约率:圆径七,圆周二十二。” 在这段文字中,明确指出:古率很粗略,刘歆、张衡、刘 徽、王蕃、皮延宗等人虽然对圆周率有新的计算,仍不精确,祖 冲之则“更开密法”,求得圆周率的“正数在盈肭二限之间”, 并分别给出了密率值和约率值。这里清楚地记载了祖冲之所得到 的两个重要结果: 1.3.1415926<π <3.1415927 2.π之密率:355/113 π之约率:22/7 可惜文中没有说明祖冲之是怎样“更开密法”的,是用怎样 的方法和步骤求得了圆周率的新数值。祖冲之对圆周率的研究和 计算的方法写在他的数学著作《缀术》中。直到唐代《缀术》都 列为数学教科书,并且作为教科书流传到日本和朝鲜。然而《缀 术》的内容比较艰深,正如《隋书·律历志》所说:祖冲之“所 著之书,名为《缀术》,学官莫能究其深奥,是故废而不理”。 以至在元代以后失传。 因无原始文献作根据,数学史家对祖冲之的计算方法有各种 不同的推测。不过对于第一个结果,多数人认为,祖冲之可能是 沿用了刘徽的思路和方法,计算出圆内接正12288边形的面积和正 24576边形的面积而得到的。在第二个结果中,约率22/7早为阿基 米德算出,而密率355/113则是令人叹服的空前杰作。 日本学者三上义夫在其1913年出版的英文本《中日数学发展 史》中,建议将355/113称为“π的祖冲之分数值”。我国科学家 茅以升于1917年在《科学》杂志发表的文章中率先把它简称为 “祖率”。 国际数学史学书籍中,在叙述中国古代数学成就时一般都要 讲到中国对圆周率的贡献。例如,H·伊夫斯在其《数学史概论》 中就说中国有许多数学家致力于π的计算,并且简述了王蕃、刘 徽和祖冲之的工作。在“π的年表”中,专有一条:约在480年, 古代中国数学家祖冲之给出了有趣的有理近似值 355/113=3.1415929……,准确到小数第六位。另有一条是:1585 年,Adsriaen Anthoniszoon重新发现了古代中国的比值 355/113。 在C.C.Gillispie所编《科学家传记辞典》第13卷中列有祖冲 之的传记,说祖冲之为了改进刘歆、张衡、王蕃、刘徽和何承天 等人对π的计算,获得了更精确的π值,还摘录了《隋书·律历 志》中记载有祖冲之的两个重要结果的那一段话。 李约瑟在《中国科学技术史》第三卷中指出:在圆周率方 面,中国人不仅赶上了希腊人,而且在公元五世纪又出现了跃 进,祖冲之的密率355/1123或3.1415929203,直到16世纪末一直 是举世无双的。 最近,2000年10月,在祖冲之的家乡河北涞水县,召开了纪 念祖冲之逝世1500周年学术讨论会,纪念他在数学、天文、机械 制造,以及文学等多方面的成就。会上一件使我很感动的事是: 日本学者小林龙彦说,祖冲之的《缀术》一书曾经在日本流传, 对日本古代数学影响很大,他要在日本寻找,要到日本古寺院的 藏书中寻找,虽然只有0.000,000,000,000,000,………………1的 希望。 (科学时报·读书周刊2000.12.1) ———————————————— 【新语丝电子文库(www.xys.org)(www.xys2.org)】